자동제어 디지털 PID 제어 이해하기.

1. 안정도 분석 이해

자동제어 시스템의 안정성은 시스템이 원하는 목표값으로 수렴할 때 진동이나 고조파가 발생하지 않는 것을 의미합니다. 안정도 분석은 시스템의 안정성을 확인하기 위한 중요한 도구 중 하나입니다.

 

안정도 분석은 시스템이 안정적인 상태에 도달할 수 있는 조건을 파악하는 것으로, 대개는 시스템의 전달함수를 사용합니다. 전달함수는 입력과 출력간의 관계를 나타내는 수학적인 함수이며, 시스템을 설계하는 과정에서 중요한 역할을 합니다.

 

안정도 분석은 일반적으로 전달함수의 극점을 찾아내는 것으로 시작합니다. 극점은 전달함수에서 분모가 0이 되는 지점을 의미합니다. 극점이 있는 경우, 해당 지점에서 전달함수의 값이 무한대로 발산하거나 발생하는 진동이 시스템의 안정성을 저해할 수 있습니다.

 

안정도 분석에서 사용되는 주요한 개념은 단위원플랏(unit circle)입니다. 단위원플랏은 복소평면 상에서 반지름이 1인 원을 의미하며, 전달함수의 극점이 단위원플랏 내부에 위치하는 경우 안정적인 시스템으로 판단됩니다.

 

단위원플랏을 사용하여 안정도를 분석하기 위해서는 먼저 전달함수를 복소평면 상의 극점과 극점에 대응하는 극점 위치의 각도를 계산합니다. 이후에는 극점 위치의 각도를 이용하여 전달함수의 안정성 여부를 판단합니다.

 

전달함수의 안정성을 분석하기 위한 대표적인 방법 중 하나는 르플라스 안정도 기준(Laplace stability criterion)입니다. 이 기준은 전달함수의 극점이 모두 좌측 복소평면에 위치하면 안정적인 시스템으로 판단합니다.

 

시스템의 안정성을 평가하기 위해서는 안정도 마진(stability margin)도 고려해야 합니다. 안정도 마진은 시스템이 안정적인 상태에 도달하기 위해 얼마나 더 많은 측정 오차나 노이즈에 강하게 대응할 수 있는지를 나타내는 값입니다. 안정도 마진은 일반적으로 전달함수의 극점과 단위원플랏 사이의 거리를 의미합니다.

 

안정도 마진을 계산하기 위해서는 먼저 전달함수의 모든 극점을 찾아내고, 이 극점들 중에서 가장 가까운 극점과 단위원플랏 사이의 거리를 계산합니다. 이 거리가 안정도 마진이 되며, 이 값이 클수록 시스템은 안정적인 상태에 더 강하게 대응할 수 있습니다.

 

안정도 분석은 자동제어 시스템의 설계 및 최적화에 매우 중요한 역할을 합니다. 안정한 시스템은 원하는 목표값으로 수렴할 때 진동이나 고조파가 발생하지 않으며, 안정성을 높이기 위해서는 전달함수의 극점과 안정도 마진을 고려하여 설계하는 것이 필요합니다.