자동제어 Z 변환 이해하기.

자동제어에서 Z 변환은 이산시간 시스템에서 시간 영역의 신호를 Z-도메인(복소 평면)으로 변환하는 방법 중 하나입니다. Z 변환은 다항식 형태의 분수함수를 이용하여 이산시간 신호를 복소평면 상의 함수로 표현할 수 있게 해줍니다. 이를 통해, 이산시간 신호를 해석하거나 이산시간 시스템을 분석하는데 유용합니다.

 

Z 변환을 이해하기 위해서는 먼저 이산시간 신호와 이산시간 시스템에서의 개념을 이해해야 합니다. 이산시간 신호는 연속적인 시간 대신에 일정한 시간 간격으로 샘플링된 신호를 의미합니다. 이산시간 시스템은 이산시간 신호를 입력으로 받아 상태 변화 방정식에 따라 상태를 업데이트하고 출력을 생성하는 시스템을 의미합니다.

 

Z 변환을 수행하기 위해서는 먼저 Z-도메인의 개념을 이해해야 합니다. Z-도메인은 복소평면상에서 Z라는 변수를 이용하여 이산시간 신호를 표현하는 도구입니다. 이산시간 신호의 Z-변환은 다음과 같이 정의됩니다.

 

X(z) = Z{ x[k] } = ∑[k=0 to ∞] x[k] z^(-k)

 

여기서 x[k]는 이산시간 신호이며, Z{}는 Z-변환을 의미합니다. 이산시간 신호 x[k]를 Z-도메인의 복소 평면상에서 X(z)라는 함수로 표현할 수 있습니다. 이때, z는 복소평면상에서의 변수입니다.

 

Z-변환은 시간 영역의 신호를 복소평면상의 함수로 변환시키는 것입니다. 이 때, 이산시간 신호의 Z-변환은 신호의 주기성과 샘플링 주기에 따라 변환 결과가 달라질 수 있습니다. 이를 보완하기 위해, Z-변환의 구간을 제한할 필요가 있습니다. 보통은 Z-변환을 위해 사용하는 구간은 |z| > r 인 영역으로 정의합니다. 이때, r은 샘플링 주기를 나타냅니다.

 

Z-변환을 이용하면, 이산시간 시스템에서의 입력과 출력 신호를 Z-도메인에서의 함수로 표현할 수 있습니다. 이를 이용하여, 이산시간 시스템의 전이함수를 Z-도메인으로 표현할 수 있습니다. 전이함수는 입력 신호의 Z-변환과 출력 신호의 Z-변환 사이의 비율을 나타내는 함수로 정의됩니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

H(z) = Y(z) / X(z)

 

여기서 H(z)는 전이함수, Y(z)는 출력 신호의 Z-변환, X(z)는 입력 신호의 Z-변환을 의미합니다.

 

이산시간 시스템에서는 주로 차분 방정식을 이용하여 상태 변화를 나타냅니다. 이를 Z-변환으로 표현하면, 다음과 같은 전이함수을 얻을 수 있습니다.

 

H(z) = Y(z) / X(z) = (b0 + b1z^(-1) + b2z^(-2) + ... + bmz^(-m)) / (a0 + a1z^(-1) + a2z^(-2) + ... + anz^(-n))

 

여기서 b0, b1, ..., bm은 입력 신호 x[k]의 계수, a0, a1, ..., an은 출력 신호 y[k]의 계수를 의미합니다. 이전 상태와 입력 신호를 이용하여 현재 상태를 계산하는 차분 방정식에서, a0, a1, ..., an은 이전 출력 y[k]의 계수이므로, 출력 신호의 Z-변환 Y(z)와 입력 신호의 Z-변환 X(z) 사이의 비율로 표현할 수 있습니다.

 

Z-변환은 이산시간 신호를 더 쉽게 해석하고 이산시간 시스템을 분석할 수 있게 해주는 강력한 도구입니다. 이를 이용하여, 이산시간 신호와 이산시간 시스템을 분석하는 방법에 대해서는 많은 연구가 진행되고 있으며, 이를 활용한 다양한 응용분야도 많이 연구되고 있습니다.